Cálculo de proposiciones y predicados (tema 6)

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TEMA 6 CÁLCULO DE PROPOSICIONES Y PREDICADOS

Introducción

Cuando hablamos de cálculo de proposiciones y predicados en lógica ya estamos presuponiendo una etapa de la lógica concreta. Se trata de la lógica moderna o simbólica propuesta ya a partir del siglo XX en la que hay alto grado de matematización. El nombre de lógica simbólica se remonta a Leibniz pero fue desarrollado por Frege y Boole. Pretende llevar hasta sus últimas consecuencias el método simbólico de Aristóteles. De esta manera, no sólo simboliza sujetos y predicados, sino también cópulas o conectivas. Se enfoca principalmente a la lógica proposicional, algo a lo que Aristóteles sólo atiende a través de los silogismos hipotéticos.

La lógica elemental o de primer orden se divide en lógica de enunciados y lógica de predicados o cuantificacional, en la que sólo se cuantifican los predicados referidos a las variables de individuo u objeto. Por encima de ella se encuentra la lógica superior o lógica de predicados de segundo orden que introduce en la argumentación predicados de predicados y cuantifica variables de predicado. La lógica de clases que son predicados monádicos y la lógica de relaciones que son predicados poliádicos, son partes de la lógica de predicados. La aportacion de Frege fue inventar un sistema de símbolos mediante el cual pudiera calcularse la lógica de Aristóteles y la lógica a la que no podían aplicarse los silogismos ni métodos aristotélicos. En la lógica simbólica, al contrario que en la aristotélica, es irrelevante si la proposición puede dividirse en sujeto y predicado. En esta perspectiva de la lógica eso queda sustituido por funciones veritativas. Hay símbolos que pueden sustituirse por proposiciones con valor de verdad. Para valorar los argumentos desde este enfoque pueden utilizarse árboles lógicos o desde que Wittgenstein las esbozó en «Tractatus Logico-philosophicus», tablas de verdad. Los árboles lógicos sirven para evaluar la consistencia o inconsistencia de los argumentos, mientras que las tablas de verdad conllevan a una valoración mayor, pues con ellas se pueden averiguar más características de los argumentos. Por este motivo nos centraremos en el uso de tablas de verdad. En ellas podemos aplicar lógicas bivalentes, como la clásica, o tras el siglo XX con los trabajos de Lukasiewicz y Tarski polivalentes. Se utilizan también en programación informática, siendo los valores en lugar de V y F , 0 y 1 o paso de corriente o no paso de corriente. Para explicar el cálculo de proposiciones partiremos de la lógica bivalente, porque entendiendo su uso puede entenderse el del resto de lógicas, ya que la diferencia es que se multiplican los mundos posibles. Ya evaluemos un argumento con árbol lógico o con tabla de verdad, el primer paso es formalizar, es decir, pasar desde el lenguaje natural al lenguaje formal que proporciona la lógica matemática o simbólica. Tomando el lenguaje natural observamos que tenemos una serie de elementos que son sujetos y verbos y una serie de complementos y conectores. En la lógica simbólica vamos a sustituir las acciones, es decir, los verbos, por letras minúsculas, por convención a partir de la ‘p’. Normalmente tendremos una letra minúscula por cada enunciado. Como hemos anunciado anteriormente en lógica simbólica no es relevante si hay sujetos o predicados, buscamos enunciados con sentido completo. Por ejemplo: ‘Luis’ podría no ser nada o podría ser ‘p’, según el tipo de argumento que estemos formalizando. ‘Luis come’ sería también ‘p’ y ‘Luis come y baila’ sería ‘p y q’ Muchos complementos del lenguaje natural estarán incluidos en ‘p’ porque acomapañarán la acción y pertenecerán a ese enunciado completo que hemos dicho que sustituíríamos por las minúsculas. Otro tipo de complementos que aparecen en el lenguaje natural, como algunos adverbios se contemplarán cuando expliquemos lógica de predicados o lógica cuantificacional, pero no ahora en lógica de proposiciones. Sin embargo las partículas que en el lenguaje natural conectan o relacionan unas frases con otras sí están contempladas en este nivel de análisis, estos son: ‘no’, ‘y’, ‘o’, ‘si…entonces’, ‘si y sólo si’. Así pues, nuestro lenguaje formal por el momento se compone de:

– letras proposicionales (que son las que actúan como funciones, porque sustituimos los enunciados por ellas): p, q, r, s…

– conectores simbolizados por:

Negación ¬

Conjunción ^

Disyunción V

Condicional →

Bicondicional ↔

Con estos elementos ya podemos pasar de lenguaje natural a lenguaje formal enunciados completos. Por ejemplo:

‘Sócrates es griego y es filósofo’ : p p

‘Sócrates o es griego o es alemán’ : p V q

La disyunción tiene dos formas de interpretarse y cuando se proponga o resuelva un ejercicio hay que especificar por cuál forma se ha decidido la interpretación para ese caso. Puede interpretarse de forma excluyente o incluyente. Excluyente es que la disyunción es válida cuando uno de los miembros sea verdadero, sin importar cuál de ellos, pero nunca serían verdaderos los dos, representa una oposición. Incluyente es que la disyunción es válida cuando al menos uno de sus dos miembros sea verdadero, sin importar cuál de ellos, pero tampoco importa si el otro miembro es verdadero o no, podría ser verdadero, no queda exluida esa posibilidad, pero aunque lo fuese, no anula la disyunción.

‘Si Sócrates es griego, entonces es europeo’ : p → q

‘Sócrates es mamífero si y sólo si se reproduce con mamíferos’: p ↔ q

A estos conjuntos que representan enunciados completos los llamamos fórmulas, de manera que cuando pasamos de lenguaje natural a lenguaje formal lo llamamos formalizar en fórmulas. Para saber que lo estamos haciendo bien y que todos los usuarios seguimos la misma convención, desde la lógica de predicados se nos presentan reglas para distinguir fórmulas bien formadas de aquellas que no lo son:

1. Cualquier letra proposicional es una fórmula bien formada (fbf)

2. Si A es una fbf, entonces, ¬ A es una fbf.

3. Si A y B son fbf, entonces, A→B es una fbf.

4. Si A y B son fbf, entonces, A B es una fbf.

5. Si A y B son fbfs, entonces, A V B es una fbf.

6. Si A y Bson fbfs, entonces A ↔ B es una fbf.

7. Si una fórmula no es una fbf en virtud de las claúsulasanteriores, entonces no es una fbf.

Formalizacion en la lógica de enunciados

Para formalizar es necesario entender lo que se ha dicho en el lenguaje natural y circunscribirse lo más exactamente a su sentido.

1. Proposicion: es aquella frase que posee significado completo. En el lenguaje natural compuesta por : sujeto, verbo, complemento.

2.Observar cuántos verbos hay en cada proposición y a cada verlo le asignamos y sustituimos por una letra proposicional (p,q,r…)

3. Aunque las proposiciones sean muy extensas sólo utilizamos una variable por acción.

4. el negador a veces está explícito y otras veces no:

‘No llueve’ ¬ p

‘Es incorregible’ ¬ p

‘No soy científico ni albañil’ ¬ p ¬ q

‘No es cierto que sea científico y no albañil’ ¬ p ¬ ¬ q

5. ‘ ^‘ simboliza conjunciones copulativas y cualquiera otras, comas y siempre que haya que añadir algo.

6. La disyunción como hemos comentado anteriormente puede ser incluyente o excluyente: ‘necesito un profesor de matemáticas o física’ (cualquiera de los dos), ‘está muerto o vivo’ (sólo uno de los dos y nunca los dos a la vez)

7. Puede haber elipsis en el lenguaje natural y en el lenguaje formal hay que colocar esos conectores que estaban elípticos: ‘Antonio, Pedro y Ramiro, adoran la filosofía’ : p ^ r

Antonio adora la filosofia

Pedro adora la filosofía

Ramiro adora la filosofía

8. Elipsis de condicional: ‘Cuando lees «El Ser y la Nada» siempre te entra la depresión’ : p → q

Hasta aquí los elementos y la formalización. Con ellos podemos operar para valorar argumentos empleando tablas de verdad, árboles lógicos o reglas de inferencia también llamadas reglas de deducción natural.

Tablas de verdad

Wittgenstein en «Tractatus Logico-Philosophicus» esboza el cálculo por tablas vertitativas. Esto se ha utilizado para demostrar que las fórmulas del cálculo de Russell y Whitehead son decidibles. Para elaborarlas se calculan los mundos posibles por potencias de base 2, debido a que estamos en este momento en una lógica bivalente. El número de la potencia será cuántos enunciados haya en esa proposición. Así por cada conector obtenemos una tabla para saber cómo trabaja ese conector, es decir, cómo afecta a los valores de cada función cuando se aplica.

Negación

p¬ p
VF
FV

Cuando se aplica el negador se cambian todos los valores de verdad, lo que era falso pasa a verdadero y lo que era verdadero pasa a falso.

Disyunción

pqp Vq
VVV
VFV
FVV
FFF

Verdadera sólo cuando al menos un elemento es verdadero, en su sentido no excluyente.

Conjunción

pq^q
VVV
VFF
FVF
FFF

Verdadera sólo cuando los dos elementos son verdaderos.

Condicional

pqp → q
VVV
VFF
FVV
FFV

Sólo es falsa cuando el antecedente es V y el consecuente F

Bicondicional

pqp ↔ q
VVV
VFF
FVF
FFV

Verdadero cuando los dos elementos tienen el mismo valor de verdad, ya sea verdadero o falso.

Las tablas se construyen colocando todas las posibilidades y todos los enunciados por separado, después todas las negaciones y después todos los conjuntos desde el más pequeño hasta el mayor, representado por la conectiva principal, esa columna será el resultado. Se elaboran tantas filas como mundos posibles haya en función de los enunciados. Cuando la columna del resultado ofrece todo V estamos ante una tautología, si es todo F se trata de contradicción y si es con mezcla de valores V y F es indeterminación. Un enunciado lógicamente contingente es el que contiene al menos una interpretación V y una interpretación F. Un enunciado lógicamente consistente es el que al menos contiene una interpretación V. Dos enunciados son equivalentes si comparten el mismo valor de verdad.

Los razonamientos están formados por varias proposiciones, a unas las llamamos premisas y a otras conclusión. Un razonamiento es lógicamente válido, es decir, sus premisas implican a su conclusión, si su condicional correspondiente, formado por las premisas como antecedente y la conclusión como consecuente, es lógicamente válido. En el razonamiento las conectivas actúan como funciones de argumento con las que a cada par de valores de verdad de las premisas, le corresponde un valor de verdad de la conclusión.

Árboles lógicos: consistencia en lógica proposicional vertitativo funcional

Este método sirve para comprobar la consistencia o inconsistencia de una fórmula o conjunto de fórmulas bien formadas. Este método no averigua si es tautológica una fórmula pero si es inconsistente no es tautológica. Si una fórmula es tautológica su negación tiene que ser inconsistente. Si al menos una de las ramas del árbol está abierta, el conjunto es consistente. Si el árbol está cerrado es inconsistente. Si ¬ A tiene un árbol cerrado, A es tautológico. Si A tiene un árbol cerrado, A es inconsistente. A y B son equivalentes si y sólo si ¬ (A↔ B) tiene un árbol cerrado.

Los mienmbros de un conjuto de proposiciones son verdaderos a la vez si seguimos de abajo arriba una rama abierta para ese árbol para ese conjunto. El método de árboles como puede dejar ramas abiertas hasta el infinito no es un método efectivo de decisión para la lógica de predicados. Teniendo en cuenta que si una fórmula es tautológica su negación es inconsistene, para comprobar la implicación con este método, debemos dejar tal cual todas las premisas de una fórmula bien formada y negar su conclusión. Como no pueden ser verdad que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa, el árbol que resulte debe estar cerrado en todas sus ramas. Si está cerrado en todas sus ramas es inconsistente pero al haber examinado nosotros la afirmación de las premisas y la negación de la conclusión del original, el original es incorrecto, es un proceso parecido a la reduccion al absurdo.

Reglas de inferencia o de deducción natural

Las reglas de inferencia tienen la virtud de resolver más rápido que las tablas y los árboles las valoraciones sobre los argumentos. Hay unas reglas básicas clásicas y otras derivadas. Para poder evaluar los argumentos con las reglas de inferencia hay que colocar las premisas ordenadamente. Después si no se puede aplicar ninguna regla, está permitido abrir un supuesto. El supuesto es cualquier fórmula bien formada y puede introducirse en cualquier línea de prueba.

MP Modus Ponens : «El que afirmando, afirma» o «Modo que poniendo pone». También se llama eliminación del condicional.

A→B

A

————-

B

MT Modus Tollens: «El que negando niega»

A→B

¬ B

———–

¬A

Modus Tollendo Ponens TP : «El que negando afirma» o Silogismo disyuntivo

A V B A V B

¬A ¬ B

———- ————

B A

Modus Ponendo Tollens: «El que afirmando niega»

¬ (A ^ B)

B

————

¬ A

DN Doble negación

¬ ¬ A

CP Contraposición

A→B

———–

¬ B→ ¬ A

IC Introducir la conjunción

Si en dos premisas anteriores hay A y B independientemente, podemos afirmar su conjunción

EC Eliminación de la conjunción

Si se nos ha afrimado en una premisa anterior que se da la conjunción A ^ B , podemos aislar cualquiera de sus elementos A o B.

ID

Introducción de la disyunción

Debido a que una disyunción es verdadera cualdo al menos uno de los elementos lo es, si yo tengo un elemento cualquiera A, puedo ponerlo en disyunción con cualquier otro. Esta regla no es válida para una disyunción exclusiva.

Bicondicional

El condicional sólo expresa una condición suficiente, mientras que el bicondicional la expresa con necesidad.

A↔ B

———

A→B y viceversa

Transitividad o silogismo hipotético

A→ B

B→C

———-

A→C

Procedimientos donde se usa supuesto:

TD Teorema Deductivo : Suponemos el antecedente y si con las reglas de deducción natural podemos llegar al consecuente, podemos afirmar la implicación entre antecedente y consecuente.

ABS Reducción al absurdo: Si A nos conduce a una contradicción, entonces, ¬ A es verdadera. Suponemos lo contrario de lo que queremos demostrar y si ello nos lleva a una contradicción, podemos afirmar lo que buscábamos.

Casos Eliminación de la disyunción: Se suponen ambos elementos de la diyunción por separado y si en ambos casos se llega al mismo resultado, ese resultado puede afirmarse.

Leyes de De Morgan

En el s. XIX el lógico hindú Augustus De Morgan, especialista en álgebra de relaciones, desarrolló lo que ya había enunciado Pedro Hispano: la negación de una conjunción equivale a la negación de cada miembro en esa disyunción.

Las leyes son dos:

1. ¬ (A ^ B) 2. ¬ (A V B)

—————— —————

¬A V ¬ B ¬ A ^ ¬ B

Derivadas de las leyes:

A ^ B A V B ¬ (A V B )

———- ————- ——————

¬ (¬A V ¬ B ) ¬ ( ¬A ^ ¬ B) ¬ ( ¬A →B)

¬ (A ^ B) ¬A ^ B A →B

————— ————– ————

¬A V ¬ B ¬ (A V ¬ B) ¬ ( A ^ ¬ B)

A ^ ¬ B ¬A V B ¬A V ¬ B

————- ————- —————

¬ (A V B ) ¬ (A ^ ¬ B) ¬ (A ^ B)

Lógica de predicados o cuantificacional

Fue comenzada por Frege en 1884 y Russell y Whitehead en 1904 desarrollaron un sistema parecido como conjunto diferente de axiomas. Hilbert y Ackerman analizarona de forma rigurosa la lógica de primer orden. Estos planteamientos contienen problemas en cuanto a la verdad lógica. Parece haber cierta necesidad que la distingue de la verdad de los enunciados, por ejemplo, de los enunciados de la ciencia física. Pero, ¿cómo se puede elucidar esta necesidad? Es decir, consideremos las relaciones entre las verdades lógicas y los axiomas en que se basan. ¿Dependen éstas en su verdad de los axiomas? Si es así, ¿de qué depende a su vez la verdad de los axiomas? Y si no es así, ¿en qué sentido se derivan de ellos las verdades lógicas? Esto manifiesta problemas acerca de la misma lógica. Son cuestiones que surgen no tanto cuando se está desarrollando un sistema lógico como cuando se reflexiona sobre lo que se está haciendo al desarrollarse así. Así que esto ya sería competencia de la filosofía de la lógica o de la metalógica. A ello también dará respuesta Gödel.

La lógica clásica consideraba como fundamentales 4 tipos de proposiciones a las que ditinguía por medio de letras A, E, I, O, U.

A: Todo F es G (x) (Fx→Gx)

E: Ningún F es G (x) (Fx→ ¬Gx)

I: Algún F es G (Ex) (Fx ^ Gx)

O: Algún F no es G (Ex) (Fx ^¬Gx)

Lo que nos permite la lógica de predicados es cuantificar. De esta forma tenemos dos operadores, el generalizador ‘Para todo x, si x es y , entonces, x es z’ : x(Ex→Gx); particularizador ‘Para algún x, si x es y, entonces, x es z’: Ex(Ex ^ Gx)

Para Aristóteles hay elementos categoremáticos o denotativos y sincategoremáticos o conectores.

Los categoremáticos son completos porque tienen sustancia o sujeto, verbo, predicado… ej. ‘Todos los hombres son seres corpóreos’. Sin embargo, ‘todos’ es sincategoremático porque sólo se convierte en enunciado uniéndose a una función proposicional. Según esto la lógica de predicados es la parte de la lógica que se dedica a estudiar la consecuencia lógica entre las proposiciones o enunciados, pero con la particularidad de que frecuentemente no es suficiente con analizar la estructura de la totalidad de los enunciados, sino que se hace necesario adentrarse en su estructura interna. Esto es lo que se denomina lógica de predicados de primer orden. Ejemplo:

1. Todas las personas a las que le gusta la poesía son melancólicas.

2. A Rocío le gusta la poesía.

3. Por consiguiente, Rocío es una persona melancólica.

Esta inferencia formalmente es correcta, siendo su forma lógica.

p→q

p

˫ q

Consideremos ahora este otro ejemplo:

1. A todas las personas melancólicas les gusta la poesía

2. A Rocío le gusa la poesía

3. Por consiguiente, Rocío es una persona melancólica.

Si consideramos que la forma lógica es la misma en los dos, resulta que el primer argumento es correcto pero el segundo no lo es, por tanto, hay que pasar a analizar la estructura interna de la argumentación.

En el enunciado ‘Todos los árboles son vegetales’ hay un objeto, árbol, propiedad que se le atribuye al mismo, ‘ser vegetal’. A los términos que mientan a los objetos los llamamos designadores, mientras que a los términos que se refieren a los predicados, los llamamos relatores. El referente u objeto puede constar de un espacio vacío, se puede predicar algo de un objeto cualquierea, entonces, lo denominamos argumento. Al argumento se le atribuye un predicado. El predicado puede ser de propiedades que denominamos absolutos o válidos para todos. Y a las propiedades corresponden agrupaciones de dos o más nombres, dependiendo de que los predicados tengan dos o más lugares vacíos. Para ello sirven el generalizador y el particularizador. En la lógica formal contemporánea se representan así:

1. Cuantificador universal o generalizador Vx(Px): ‘Para todo x , p de x o para todo x, se predica p’

2. Existencial o particularizador Ex(Px) : ‘Existe o hay un x tal que es p’ (puede ser una E al revés pero no encuentro ese caracter en el ordenador)

Con ellos podemos formalizar los siguientes casos:

Vx(Fx) : Para todo x, x es filósofo o ‘todos son filósofos’

Vx(Fx→Px) : Para todo x, si x es filósofo, x es profesor: todos los filósofos son profesores

Vx(Fx↔Px) : Para todo x, x es filósofo si y sólo si x es profesor: Todos son filósofos y profesores o ni filósofos ni profesores.

¬ Vx(Fx): Para todo x, x no es filósofo: Nadie es filósofo

¬ Vx(Fx→Px) : No es el caso que, para todo x, si x es rojo, entonces x es filósofo: No todos los que son filósofos son profesores.

Vx (Fx→¬ Px) : Para todo x, si x es filósofo, entonces x no es profesor: Ningún filósofo es profesor.

Ex(Fx) : Existe algún x tal, que x es filósofo: Alguno es filósofo.

¬ Ex(Fx): No es el caso que exista un x tal que sea filósofo: Alguno es filósofo

Ex (Fx ^ Px): Existe algún x tal, que x es filósofo y profesor: Alguno es filósofo y profesor

El clasificar predicados en todos o algunos nos lleva a la teoría de conjuntos o lógica de clases, por lo que también podemos emplear lo que sabemos de ella para el cálculo lógico de predicados.

Lógica de clases

La lógica de clases es la lógica de predicados monádicos. Históricamente alcanzó su desarrollo con Boole en el s.XIX y con Morgan. Actualmente la lógica de clases es posterior a la lógica de enunciados y lógica proposicional. Esto es porque dos clases que se encuentran relacionadas de cierta manera están enunciando ya una proposición. La lógica de clases supone nociones de lógica proposicional pero a la vez, es una extensión de la lógica a campos de la lógica proposicional no podría abarcar. Sirven para explicar los silogismo de la lógica tradicional.

ej. Todos los mamífesor carnívoros tienen pelo

Los perros son mamíferos carnívoros

Luego, los perros tienen pelo.

Una clase o conjunto es una agrupación de individuos de cualquier tipo que tienen en común una propiedad por la cual se les identifica como miembros de ella. A toda la propiedad le corresonde una clase y a toda clase le corresponde, al menos, una propiedad, una propiedad delimita o define una clase. Las propiedades son parte de la realidad. Por ejemplo, el ser rojo es una característica física de la lámpara que ilumina mi ordenador donde escribo. Bajo esta perspectiva real, no es objeto de la lógica, pues ésta no investiga lo que es el color. Esta propiedad de la lámpara es simbolizada en nuestro pensamiento en predicado de las cosas. Y en cuanto a predicado, las propiedades de la lámpara, sí interesan a la lógica. El predicado es una parte de la proposición, pero no es una proposición. Las proposiciones tienen valor de verdad y el predicado por sí mismo no. Consideramos una clase al conjunto de aquellos objetos a los que se atribuye con verdad un predicado. Al margen de nuestro pensamiento los objetos no forman clases. Sólo existe clase cuando previamente existe una clasificación, una operación mental por la que, atendiendo a determinadas semejanzas entre objetos, los designamos con un mismo símbolo. Los objetos por sí mismos no constituyen clases. Lo que interesa a la lógica no es lo que un predicado connota, es decir, su significado, sino lo que un predicado denota, es decir, el conjunto de objetos de los que puede predicarse con verdad. En la lógica de clases, por tanto, se emplean los predicados extensionalmente. ‘Extensión’ de un término es lo mismo que ‘denotación’. Ej. ‘los lobos se incluyen dentro de los mamíferos’, no queremos decir que el predicado lobo forme parte de la conntación de mamífero, sino que la denotación de lobo es una parte de la denotación de mamífero. Ambos aspectos se hallan en relación inversa: cuando la denotación de A incluye la de B, generalmente es porque la connotación de B incluye a la de A. Puesto que tomamos los términos extensionalmente, consideremos que dos clases son idénticas cuando tengan los mismos objetos, aunque los predicados ‘hombre’ y ‘animal capaz de religión’ que las designan tengan diferente connotación. Así, considererarmos idénticas las clases denotadas por los predicados ‘hombre ‘ y ‘animal capaz de religión’, aunque las connotaciones de ambos predicados sean obviamente distintas.

En lógica de clases hay expresiones universalmente válidas y son equivalentes a las tautologías. Si son muy importantes las llamamos leyes. Son válidas en cualquier universo del discurso que no sea vacío. Una expresión es universalmente válida cuando da lugar a proposiciones verdaderas , siempre que , con referencia a cualquier universo del discurso no vacío, sustituyamos las variables de clase por los nombres de cualesquiera clases especiales. Por ejemplo, ‘A pertenece a B’ no es universalmente válida porque no lo es con cualquier interpretación.

En cuanto a leyes de cálculo de clases podemos tener las siguientes: identidad, no contradicción y tercio excluso; doble negación; relacionadas con la identidad: pertenencia…; asociación; transitividad; conmutación; tautología; distribución; intersección y reunión; dualidad o de De Morgan.

Para el cálculo de clases disponemos de las variables de clase simbolizadas por letras mayúsculas a partir de la A y ‘^’ representa la clase vacia o sin elementos y ‘V’ representa la clase universal a la que pertenecen todos los objetos del universo del discurso de que se trate. Cuando hablamos de relaciones entre clases y en especial cuando nos referimos al complemento de una claes, estamos siempre pensando como transfondo en un campo determinado de objetos, con respecto al cual tiene sentido hablar de clases y de sus relaciones mutuas. Ej . Si decimos que la clase de gatos está incluida en la de felinos, nos referimos al ‘campo determinado de animales del que están excluidos los astros, las nubes, los números…’ A veces el universo del discurso del que hablamos puede extenderse a todos los objetos existentes o posibles como en el caso de la metafísica clásica. Así pues, tanto la clase vacía como la clase universal deben siempre entenderse referidas al universal del discurso de que se trate.

El complemento de una clase A es la clase de todos los elementos del universo de discurso de que se trate que no pertenezcan a A. Complemento A y variable A es el opuesto a la variable Avacía(triángulo encima):

A: personas que son padres

Avacía: personas que no son padres

Hay diferentes conexiones entre clases:

-Intersección o producto de A y B es una nueva clase C que contiene todos los elementos y sólo los elementos que pertenecen a la vez a A y a B. Se representa A∩B

A: presidentes de república B: mujeres

A∩B : mujeres presidentes de república

– Reunión o suma de A y B es una nueva clase C que contiene todos los elementos y sólo los elementos que pertenecen a A o a B o a ambas a la vez. Se representa A U B

A: obreros B: afiliados a un sindicato AUB : obreros o afiliados a un sindicato o ambos a la vez

Relaciones entre clases podemos encontrar:

-Inclusión: una clase A etá incluida en otra B cuando todos los elementos de A son elementos de B. Se representa A CB . Se lee A está incluida en B.

-Identidad: A es identica a B cuando cada elemento de A es elemento de B y viceversa. Se escribe

A =B Cuando no hay identidad se coloca el igual tachado.

Cuando se dan las relaciones de identidad, inclusión…se forman proposiciones pero cuando se dan conjunciones entre clases sólo se producen elementos de proposiciones.

Las conectivas en lógica de clases son los mismos símbolos que en lógica proposicional.

Bibliografía

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