La lógica como sistema formal axiomático; los sistemas formales axiomáticos (tema 7)

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TEMA 7 LA LÓGICA COMO SISTEMA FORMAL AXIOMÁTICO; LOS SISTEMAS FORMALES AXIOMÁTICOS.

ÍNDICE

1. Introducción: Lógica axiomática

2. ¿Qué es un sistema axiomático?

3. La verdad de los axiomas

3.1. La evidencia como criterio de verdad de un axioma

3.2. Axiomas y magnitudes infinitas

3.3. La geometría no euclidea

3.4 Hilbert : crítica de la evidencia

4. Axiomas metalógicos: los axiomas de identidad y de no contradicción

4.1. El escepticismo y la negación de los axiomas metalógicos de identidad y de no contradicción

4.2. El axioma metalógico del tercero excluido

5. La concepción «institucionalista» de los axiomas

6. Axiomática y las condiciones básicas de un sistea axiomático

6.1. El sistema axiomático de Frege

6.2. El sistema axiomático de Hilbert

6.3.El sistema axiomático de Russell y White head

7.Condiciones básicas de los axiomas

7.1. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser completos

7.2. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser consistentes

7.3. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser fecundos

7.4. Los axiomas de uns sistema axiomático deben ser coherentes

7.5. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser independientes

7.6. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser categóricos

7.7. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser pocos y simples

8. Indecibilidad de los sistemas axiomáticos

8.1. Gödel

8.2. Henkin

8.3. Löwenheim-Skolem

8.4. Church

9.Conclusiones: El sueño roto ¿verdad en las matemáticas?

10. Bibliografía

Introducción:Lógica axiomática

Un sistema axiomático de la lógica son unas reglas de inferencia y un conjunto de fórmulas bien formadas que se llaman axiomas. Un axioma se usa en cualquier lugar del argumento y su verdad es incuestionable porque es derivable por sí mismo. En griego significa «lo que paarece justo»: ‘axio’ : yo estimo, ‘axios’: digno. El axioma, por tanto, es un postulado propositivo que por su propia dignidad, por ocupar un lugar determinado en sus sistema de proposiciones, debe ser considerado verdadero. Es intuitivo y evidente, no tiene que ser demostrado. Ej. «una parte de una cosa es más pequeña que la cosa entera»

Es distinto de teorema. El teorema es un enunciado que sólo se acepta una vez que ha sido probado y es útil para explicar la realidad o para que sea asumido por otros ámbitos científicos.

En la lógica actual ‘postulado’ es sinónimo de axioma. Postulado viene de ‘postulare’ que significa ‘pedir’, se emplea como punto de partida o principio para la demostración de teoremas. Hasta el s.XIX postulado y axioma no se entendían como sinónimos, sino que el axioma era lo evidente y el postulado lo que se suponía. En lógica, axioma es también conclusión demostrada partiendo de un conjunto vacío de premisas, coincidiendo aquí con las definiciones de tautología, verdad lógica o enunciado analítico.

Aristóteles fue el primero en formular la noción de axioma como: «las proposiciones primeras de las cuales parte la demostración y en todo caso, los principios que debe poseer necesariamente el que quiere aprender algo» De este modo difiere de ‘hipótesis’ o ‘postulado’ Para Aristóteles el axioma más evidente era el principio de no-contradicción y eso quedó inmutable hasta prácticamente la Modernidad. En efecto, Santo Tomás le seguía explicando que los pirncipios inmediatos no son conocidos por ningún término medio, sino por el mero conocimiento de sus términos, como en este ejemplo: » si se sabe lo que es el todo y lo que es la parte, se sabe que el primero es mayor que el segundo y que éste es menor que aquel» Pero Ockham sostuvo que ese principio no vale cuando se trata de todos que comprenden infinitas partes. Posteriormente Cantor defenderá que eso sólo es definición de conjuntos finitos. A lo largo de la historia se ha buscado la validez absoluta de los axiomas. Francis Bacon pensaba que se obtenía deductiva o inductivamente. Descartes que erean verdades eternas e innatas en nuestra mente. Locke que eran experiencias inmediatas. Leibniz que eran principios innatos en forma propositiva originaria. J. S. Mill que eran generalizaciones de la observación como «verdades experimentales» aunque evidentes. Así pues, tanto racionalistas como empiristas coincidían en su carácter evidente. Para Kant eran principios sintéticos ‘a priori’. Según esto, la matemática es axiomática porque fabrica sus propios conceptos. Sin embargo la filosofía no, porque no los construye. Tal y como lo explicaba Kant, los axiomas de la intuición que son principios del entendimiento puro, no son verdaderos axiomas sino que contienen el principio de la posibilidad de los axiomas en general. Tras esto, en el pensamiento contemporáneo la noción de axioma ha sufrido una transformación radical debido a los estudios del formalismo lógico: Peano, Frege, Russell, Hilbert. A día de hoy la característica de evidencia ha sido negada como perteneciente al concepto axioma de modo que axioma ya no se diferencia de postulado y se emplean ambos términos como sinónimos. Así, los axiomas matemáticos no se consideran ya ni verdaderos ni falsos, sino fruto de convenciones necesarias para los discursos matemático y lógico.

Hay algunos métodos para comprobar qué expresiones son universalmente válidas como los árboles lógicos o las tablas de verdad propuestas por Wittgenstein, que aunque útiles, no nos indican que relación existe entre esas proposiciones. Por ejemplo, un sistema axiomático que se compone de todas las expresiones universalmente válidas trata de mostrar cómo todas ellas se derivan de unas pocas fundamentales; por el contrario, una demostración trata de hacer ver cómo una expresión indeterminada, es decir, no tautológica, se deriva de otras indeterminadas que aceptamos como verdaderas, a los que llamamos postulados. En este contexto, es arbitrario lo que consideramos como axiomas pero un conjunto de axiomas debe cumplir estas condiciones para que lo consideremos tal:

a) Completud: tienen que poder derivarse de él todas las tautologías de la lógica proposicional.

b) Los axiomas del conjunto deben ser independientes entre sí y no deben poder derivarse unos de otros.

c) Deben ser consistentes, es decir, sus derivaciones no pueden ser contradictorias.

2.¿Qué es un sistema axiomático?

Desde la Grecia clásica el sistema axiomático es la forma de presentarse el cálculo o el lenguaje formalizado. En él se dispone de un conjunto de enunciados que se admiten sin demostración y a partir de los cuales se obtienen afirmaciones de la teoría a las que llamamos teoremas. El conjunto de axiomas, más la definición de enunciados, más el conjunto de reglas de transformación para obtener los teoremas es la base primitiva del sistema axiomático.

La lógica pretende ser un sistema formal axiomático: esto es un método deductivo formado por un grupo de enunciados que debidamente formalizados y definidos permiten deducir mediante reglas de inferencia precisas el conjunto de enunciados llamados teoremas. Hay sistemas axiomáticos formalizados y no formalizados. Ejemplos son los que Euclides elaboró en geometría, Arquímedes en física, Newton en mecánica a partir de la obra de Euclides. A partir del s.XIX se procedió a la axiomatización de las matemáticas a partir de geometrías no euclídeas como consecuencia del estudio de la independencia del postulado de las paralelas de Euclides y de la crisis de los fundamentos de la matemática. Los primeros sistemas axiomáticos se aplicaron al estudio de las matemáticas distinguiéndose entre matemática teórica y aplicada, que pretende dar una interpretación real del mundo. Los axiomas se componen de símbolos sin contenido que no son ni verdaderos ni falsos, si reciben una interpretación concreta refiriéndose a un universo de objetos pasan a ser enunciados verdaderos o falsos. Esa interpretación es un modelo de la teoría. Por ejemplo, el espacio llamado euclideano que corresponde a nuestra experiencia sensorial y que desde el s. XX sabemos que no es la única interpretación posible, hace verdadera y consistente la geometría euclídea, la cual sólo habla de puntos, símbolos, rectas, ángulos… que aplicados al espacio definen su estructura. El conjunto de enunciados del sistema espacial es un modelo de la teoría axiomática de Euclides.

3. La verdad de los axiomas

Los argumentos deductivos válidos no conducen siempre a conclusiones verdaderas. Sólo cuando todas las premisas de un argumento son verdaderas y el argumento es válido tiene que ser también verdadera la conlusión. Las premisas de un argumento deductivo sólo pasan por ser indudablemente verdaderas cuando son premisas primeras o axiomas.

3.1. La evidencia como criterio de verdad de un axioma

Por axioma entendemos lo evidente que es literalmente lo que destaca a la vista, como el axioma noveno de la obra «Elementos» de Euclides ya mencionado: «El todo es mayor que la parte» Tal y como decía Aristóteles con axioma nombramos a lo que no es necesario demostrar porque demostrar algo evidente se asemeja a quien con una candela pretende probar la claridad cuando brilla el sol.

3.2. Axiomas y magnitudes infinitas

Aquí aparece la crítica de Ockham. Si la cantidad parcial tiene infnitos elementos no puede ser la cantidad total mayor que la cantidad de la parte. Posteriormente Cantor (1845-1918) en su artículo de 1895 definió las cantidades inifinitas de tal modo que el mentado axioma sea válido en cierto sentido y en cierto sentido no: «Cada cantidad transfinita T está constituida de tal manera que contiene cantidades parciales T1, las cuales son equivalentes a la misma» Una cantidad transfinita es una cantidad infinita. En las cantidades infinitas se da el caso que el todo es mayor que la pate como lo muestra la representación mediante una línea de infinitos puntos, pero por otro lado no lo es: A—-C—-B

El trazo entreo AB es mayor que el trazo parcial AC. La cantidad de puntos contenidos en el trazo parcial AC es igual de grande que la cantidad de los puntos contenidos en toda la línea AB. Toda vez que la cantidad total y parcial contiene infinitos puntos, la cantidad parcial puede ser igualmente grande o de igual potencia que la cantidad total, eso es algo que ya nos salta a la vista de modo inmedianto, por eso tenemso que establecerlo mediante definición. Así ocurre con la definición de las pararelas de Euclides en su obra «Elementos»: «Paralelas son unas líneas rectas que están en el mismo plano y que prolongándose por ambos extremos hasta el infinito nunca se juntan» Esto parecía tan claro que hasta el s.XIX no se planteó dudar de esa verdad. Hubo muchos intentos por demostrar el axioma de las paralelas, es decir, por derivarlo como un teorema de los otros axiomas del sistema axiomático de Euclides, pero todos los intentos eran argumentos circulares.

3.3. La geometría no euclídea

1816 Gauss demostró que el axioma de las paralelas no puede derivarse de los otros axiomas, lo cual hacía pensar que se podía prescindir de él. Gauss llegó a la conclusión de que sí y construyó una geometría no euclídea sin contradicciones y sin el axioma de las paralelas, aunque en aquel momento no se atrevió a publicar sus resultados.

1832 Bolyai y 1835 Lobashevski demostraron de forma independiente que el axioma de las paralelas no puede derivarse de otros axiomas y construyeron también unas geometrías en las que no tenía vigencia ese axioma. Apareció otro axioma que ya no tenía nada de evidente, según el cual no se da en ningún plano ninguna paralela de una recta que pase por un punto que no se encuentre en ella.

1854 Riemann construyó una geometría en la cual por un punto P pasa más de una paralela. Todas estas geometrías no euclideanas ya no resultan evidentes así que el carácter de evidencia se iba perdiendo del concepto de axioma. Empezaba a esbozarse que sólo a primera vista, ‘prima facie’ la evidencia era un criterio para la verdad de los axiomas, pero que tras una reflexión más profunda y pormenorizada, podría esa evidencia quedar invalidada.

3.4.Hilbert: crítica de la evidencia

Dada la situación, Hilbert (1862-1943) propone que el criterio de verdad de un axioma no sea ya la evidencia sino la ausencia de contradicción. Fue el primero en poner de manifiesto la revolución que suponía el desarrollo de las geometrías no euclídeas. Su concepción de una teoría geométrica prontó generalizó a cualquier teoría matemática o física, lo cual dio lugar a una fecunda concepción de la ciencia matemática. Hilbert defendió que la geometría euclídea no es la prescripción del espacio físico, ni de la intuición espacial humana como sostenía Kant, ni de ninguna realidad concreta. La geometría euclídea no es historia, sino una teoría más, la descripción de una estructura que puede realizarse o no realizarse en el espacio físico. Puede haber tantas geometrías distintas e incompatibles entre sí, tantas como estructuras abstractas seamos capaces de definir, con independencia de cualquier realidad. Esta situación no implica contradicción ninguna pues los teoremas de que se compone la teoría no son verdaderos ni falsos, a diferencia de las ideas de que se compone la historia, que sí son verdaderas o falsas. Así en 1899 en su obra «Fundamentos de la geometría» expuso que la evidencia no podía ser un criterio de verdad para los axiomas. En ella explica por ejemplo que los conceptos básicos de la geometría euclidiana, como pueden ser los de punto, recta, plano, corresponden a meras variables ‘x’, ‘y’, ‘z’ cuyos contenidos no se precisan sino que en principio pueden interpretarse a discreción. De ese modo, los axiomas de la geomtería ya no tienen por qué ser evidentes, sino que son determinaciones arbitrariamente fijadas entre tales variables, signos sintácticos vacíos de contenido pero libres de contradicción e independientes entre sí. A los axiomas ya no se les pide ser evidentes, sino sólo libres de contradicción e independientes entre sí. Hilbert con esto separa lo lógico-formal de lo manifiesto y evidente y declara como criterio de verdad y existencia la ausencia de contradicción lógica. Ahora ya no se puede afirmar que un axioma es verdadero ‘en sí’, sino que sólo es verdadero desde la comunidad lingüística que acepta dicho axioma. Dado lo anterior, en el criterio de verdad del axioma hay un componente social de que se acepte como una semántica estable dentro de una comunidad lingüística, por pequeña que ésta sea.

4.Axiomas metalógicos: axiomas de identidad y no contradicción

¿Será también fruto del acuerdo entre una comunidad lingüística la validez de los axiomas de identidad y no contradicción? Frege se lo plantea y no habla ya de leyes del pensamiento, queriendo liberarse así de elementos subjetivos y lo que llamaba «grasa psicológica» buscando algo objetivamente verdadero. Los axiomas no describren cómo pensamos realmente, sino que prescribren cómo deberíamos pensar para llegar a juicios y conclusiones. Esto es porque también podemos pensar de manera ilógica. La lógica no es lo que se tiene por cierto, sino como asentó Frege: » es la ciencia de las leyes más generales del ser verdadero» , del correcto pensar, no del pensar en general. Por ello el que afirmemos que algo es igual a sí mismo y que ello no puede estar en contradicción, no se debe a que no podamos pensar situaciones en las que esas afirmaciones no sean ciertas, sino que prescribimos que deben ser ciertas para no errar en nuestros juicios y conclusiones. Es por ello, que como afirmaciones para este fin, todo el mundo las reconoce como objetivas y tienen muchas formas de formularse.

Como ejemplo donde usamos estos axiomas para garantizar un correcto pensar podemos recurrir al primer axioma del sistema lógico de los «Principia Mathematica» de Russell y Whitehead que supone ambos axiomas metalógicos citados: «1.1. Todo lo implicado en una proposición elemental verdadera, es verdadero» Eso significa que de premisas verdaderas han de obtenerse conclusiones verdaderas. En efecto, la validez de un argumento deductivo presupone que la afirmación de las premisas y la negación de la conclusión producen contradicción lógica.

4.1. El escepticismo y la negación de los axiomas metalógicos de identidad y de no contradicción

Para negar los axiomas metalógicos, un escéptico radical tendría que empezar por afirmarlos. Si dijera que el axioma de identidad no es verdadero, daría por supuesta la afirmación siguiente: «el axioma de identidad no es verdadero es idéntico a el axioma de identidad no es verdadero» Si en vez de el término ‘idéntico’ empleara el término ‘equivalente’, admitiría que: «el axioma de identidad no es verdadero es equivalente a la afirmación de el axioma de identidad no es verdadero» El escéptico presupondría en ambos casos el axioma de identidad para luego negarlo.

Si afirmase que el axioma de no contradicción no es verdadero, presupondría que tal afirmación y negación de la misma afirmación ‘el aixoma de no contradicción es verdadero’ no son verdaderos a la vez. Si hace tal suposición no está sino afirmando el mismo axioma de no-contradicción y al afirmarlo así, no lo niega. Si no lo niega, tampoco puede continuar sosteniendo la negación de la ley de no contradicción, y, no puede sostenerla, puesto que tiene que afirmarla para defender su negación.

4.2. El axioma metalógico del tercer excluido

Baumgarten (1714-1762) lo distinguió del principio de no contradicción y le dio el nombre de

tercero excluido. Su formulación afirma que todo enunciado es verdadero o falso pero que no se admite un tercer valor vertitativo, no hay una tercera opción distinta de verdadero o falso. Este axioma ha recibido muchas críticas no tan fáciles de solventar como se ha hecho con las dudas que recaían sobre los dos anteriores axiomas metalógicos. Para el intuicionismo de Heyting, no es válido si hay un conjunto inifnito de posibilidades. Lukasiewicz y Tarski tampoco lo dieron por válido porque demostraron que se podía formular una lógica trivalente o polivalente, empleada en mecánica cuántica de manera fructífera, la cual establece tres o más valores: verdadero, falso, posible o indeterminado.

Así que, no es un axioma verdadero en cualquier sistema axiomático de lógica o de matemática. No es válido en la obra de Brouwer (1881-1966) para quien los axiomas y teoremas matemáticos sólo pueden ser verdadero o falsos cuando son demostrables o refutables mediante una construcción. Ahora bien, no podemos partir del supuesto de que en infinitos campos cada afirmación matemática sea demostrable o refutable mediante una construcción y sin que un tercero intervenga. Brouwer defiende que sólo puede considerarse que un ente existe matemáticamente si se logra construirlo a través de una cantidad infinita de pasos. Si se aceptan las reglas de los intuicionistas construyendo uno por uno los entes matemáticos, se evitarán los principios de las antinomias. En 1920 no se entendió esta teoría acusándola de querer echar por la borda la matemática clásica. Actualmente es respetada y es una de las corrientes más influyentes de la matemática contemporánea. Por ejemplo, establece que hay números perfectos, que son los números naturales, cuya suma es igual a la suma de sus partes. Son perfectos los pares hasta el 496 que son los que se han construido. De ningún número impar se ha demostrado hasta ahora que sea perfecto, lo cual no quiere decir que todos los números impares sean imperfectos. La afirmación: ‘ todos los números impares son imperfectos’ , no se puede ni probar ni refutar mediante una construcción puesto que hay infinitos números impares. Por eso para Brouwer la ley matemática del tercero excluido ya no es verdadera en afirmaciones sobre una cantidad infinita de números.

5. La concepción ‘institucionalista’ de los axiomas

Defiende que los axiomas no son verdaderos porque sean evidentes, ni porque se estalezcan sin contradicción, sino porque están institucionalizados en una comunidad lingüística. Quien no los acepta, no pertenece a la comunidad. No hay justificación absoluta para la verdad de los axiomas.

6.Axiomática y las condiciones básicas de uns sistema axiomático

Axiomática es la teoría de los sistemas axiomáticos. Es el sistema deductivo por excelencia y estas son las condiciones fundamentales que debe satisfacer para ser rigurosa:

1. Que sean enunciados explícitamente los primeros con ayuda de los cuales se propone definir todos los otros.

2. Que sean enunciados explícitamente las proposiciones primeras, con ayuda de las cuales se propone demostrar todas las otras.

3. Que las relaciones enunciadas entre los términos primeros sean puras relaciones lógicas, permanezcan independientes del sentido concreto que se pueda dar a los términos.

4. Que sólo estas relaciones intervengan en las demostraciones, independientemente del sentido de los términos, lo que prohíbe, en particular, tomar prestado algo a la consideración de las figuras.

6.1 Sistema axiomático de Frege

Frege propone un sistema axiomático de sólo tres axiomas para facilitar las demostraciones. Se sirvió solo de los operadores negación y si entonces.

1. Conclusión: si p, entonces (si q entonces p)

2. Conclusión: (si p entonces ( si q entonces r) ) entonces ( ( si p entonces q) entonces ( si p entonces r ) )

3. Conclusión: ( si no p entonces no q ) entonces (si q entonces p )

Con esto se demuestra que la fórmula si p entonces q no es un axioma sino un teorema obtenido por demostración al sustituir en el segundo axioma q por si p entonces p y r por p.

6.2. Sistema axiomático de Hilbert

Establece tres diferentes sistemas de seres:

1. A los seres del primer sistema los llamaremos puntos y los designaremos A, B, C.

2. A los seres del segundo sistema los llamaremos rectas y los designaremos por a, b, c.

3. A los seres del tercer sistema los llamaremos planos y los designaremos por «…» los puntos serán también llamados elementos de la geometría lineal; los puntos y las rectas, elementos de la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos, elementos de la geometria del espacio o elementos del espacio.

Divide los axiomas de la geometría en cinco grupos:

1. Axiomas de asociación

2. Axiomas de distribución

3. Axiomas de las paralelas (postulados de Euclides)

4. Axiomas de congruencia

5. Axiomas de la continuidad (axioma de Arquímedes)

6.3. El sistema axiomático de Russell y Whitehead

En su obra «Principia Mathematica» exponen que un sistema axiomático requiere:

1. Una lógica básica (subyacente a toda teoría)

2. Términos primitivos (términos lógico o no, necesarios para construir definiciones)

3. Términos definidos

4. Axiomas o postulados del sistema

5. Reglas de inferencia (para la deducción)

6. Teoresmas del sistema

El ejemplo concreto que proponen es:

1. (si p o p) entonces p

2. ( si p entonces ( p o q)

3. ( p o q) entonces ( q o p)

4. (p o (q o r) ) entonces ( ( p o q) o r)

5. si (si p entonces q) entonces ( ( r o p) entonces r o q ) )

Consta de dos reglas de inferencia:

a)regla de sustitución: puede sustituirse una variable de enunciado por cualquier expresión correcta, con tal de que la variable sea sustuituida siempre que aparece y siempre por la misma expresión.

b)la regla de separación: es posible demostrar todas las expresiones universalmente válidas del cálculo de proposiciones. El procedimiento es el mismo que utilizamos en la deducción natural, aplicando las reglas de inferencia con estas diferencias:

a) las premisas no pueden ser más que los axiomas aceptados, al menos en los primeros teoremas probados, una vez demostrados algunos teoremas, éstos a su vez pueden ejercer de premisas o de supuestos

b) las reglas de inferencia son sólo las dos indicados, no cuatro como en la prueba

c) no se pueden introducir como premisas auxiliares tautologías, a menos que se hayan demostrado antes como teoremas.

7.Condiciones básicas de los axiomas

Los conocimientos no forman ciencia de por sí, si no se encuentran ordenados sistemáticamente, es decir, formando parte de un sistema lógico, construido según las relaciones de implicación, equivalencia… Aunque ninguna ciencia real alcanza absoluta formalidad y pureza.

Un sistema lógico es un conjunto de proposiciones entre las que existen unas relaciones lógicas tales, que partiendo de un pequeño número, podemos deducir todas las demás sin añadir ninguna otra proposición exterior al conjunto. Las proposiciones de las que partimos para deducir las otras son los axiomas; a partir de los axiomas son los teoremas. Un sistema lógico puramente formal, pues se compone de axiomas y teoremas.

7.1. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser completos

En presencia de cualquier proposición del sistema ésta puede demostrar en cualquier moemento o impugnar y por tanto decidir acerca de la verdad o falsedad en relación con el sistema de postulados. En este caso el sistema se denomina decidible.

7.2. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser consistentes

Se llama consistente a un conjunto de axiomas no pueden dentro de él proposiciones que resultan mutuamente contradictorias. Aunque es una propiedad díficil de establecer.

7.3 Los axiomas de un sistema axiomático deben ser fecundos.

Los axiomas de un sistema lógico no se eligen porque sean más evidentes que los teoremas. La fecundidad se muestra como la caracterísitca más empleada. A la lógica no le interesa, pese a Frege, la verdad de las proposiciones que emplea, sino la existencia de relaciones de implicación entre proposiciones.

7.4. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser coherentes

Si no son coherentes, el sistema del que dependen resulta el sistema contradictorio. Otro procedimiento es la realización, es decir, la referencia del sistema a un modelo real, sobre el supuesto de que lo que es real debe ser posible, y, por tanto, no contradictorio.

7.5 Los axiomas de un sistema axiomático deben ser independientes

La independencia equivale a la irreductibilidad recíproca. Esta condición no es tan indispensable como la coherencia, es oportuna para evitar que las proposiciones primitivas resulten numerosas en exceso. Que sea independiente quiere decir que tiene que ser imposible deducir uno cualquiera de los axiomas del resto de los otros: los axiomas deben ser mutuamente independientes. La interdependencia es la úncia manera de distinguir entre axiomas y teoremas.

7.6. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser categóricos

Un sistema axiomático es categórico si todos sus modelos son isomórficos. Caracterizar una noción por medio de un conjunto de axiomasa es esencial que los axiomas sean consistentes, que exista al menos un modelo. Un punto es lo que satisface tales y tales axiomas, mientras se ignorase que nada puede satisfacer esos axiomas.

7.7 Los axiomas de un sistema axiomático deben ser pocos y simples

El menor número posible y la simplicidad son condiciones deseables que confieren elegancia lógica, sencillez a un sistema axiomático, si los axiomas son consistentes puede haber demasiados modelos. Un sistema axiomático que tenga exactamente un modelo no existe. Todo sistema axiomático que sea consistente tendrá un número infinito de modelos. Los modelos del sistema aunque pueden ser numerosos, lo mínimo que podemos pedir es que sean isomorfos, es decir, que tengan la misma estructura.

8.Indecibilidad de los sistemas axiomáticos

Gödel (1906-1978) fue miembro del Círculo de Viena y tras al segunda Guerra Mundial enseñó en Princeton. En 1928 Hilbert había planteado el problema de la completud de la teoría de los números preguntándose si los axiomas de Peano, pertenecientes a la teoría elemental de los números, eran capaces o no de demostgrar o refutar todas las proposiciones de aquella teoría. 1931 Gödel demostró en «Proposiciones formalmente indecidibles de los ‘Principia Mathematica’ y de ‘sistemas afines’ » , que no es posible construir una teoría axiomática de los números que posea la completud propuesta por Hilbert. De este primer resultado Gödel extrajo el corolario según el cual un cálculo lógico, con potencia suficiente para formalizar la aritmética elemental, si es coherente, es de un tipo que hace que en él sea indemostrable la fórmula que expresa su coherencia. La coherencia de la aritmética, por lo tanto, no se puede obtener utilizando los instrumentos pertenecientes al sistema formal mediante el cual se expresa la artimética. Dicho resultado señalaba con toda claridad el fracaso del programa hilbertiano, dado que los métodos finitistas utilizados por Hilbert también son deformalizables en el interior del sistema axiomático de la aritmética. Gödel puso de manifiesto que resultaba imposible una prueba puramente sintáctica de la no contradictoriedad de un sistema formal, por lo menos, cuando es tan complejo de expresar como la aritmética elemental.

8.1 Gödel

1931 Gödel propuso su teorema de la incompletud que roza los límites de la paradoja y con el que arremete contra el proyecto de conseguir una axiomatización completa de la matemática y la lógica. Hasta él se decía que podría axiomatizarse la matemática y que dicho sistema tendría completitud y consistencia. Pero este autor propuso que sólo podía darse incompletitud e inconsistencia simultánea de cualquier lógica o sistema matemático. Son dos teoremas: Uno sostiene que todo sistema de axiomas que sea consistente y capaz de incluir la teoría formal de la artimética, es necesariamente incompleto y contiene algún teorema que a pesar de ser verdadero no puede deducirse del sistema. El segundo, complementario y consecuencia del primero establece que no puede probarse la consistencia de un sistema formal de la artimética con los solos medios que dicho sistema proporciona, por lo que no siendo la consistencia un teorema del sistema, ha de probarse desde fuera del sistema. De este modo, en cualquier sistema formal lógico o matemático, que sea consistente y en cuyo interior se pretenda desarrollar acabadamente la lógica o la matemática, existen proposiciones de dicho sistema que son indecidibles, esto es, cuya afirmación ni negación son demostrables siendo una de ellas, precisamente, la que afirma que el sistema es consistente, sosteniendo que en su interior es imposible que existan contradicciones. Por tanto, no puede demostrarse la no contradictoriedad de un sistema matemático formalizado dentro del mismo sistema. En cualquier sistema lógico o matemático exisste al menos un teorema o proposición que aunque sea verdadero no puede deducirse del mismo sistema. Es imposible que un sistema formal aritmético sea consistente apoyándose únicamente en dicho sistema, la consistencia tendría que venir de fuera de él, por lo que ningún sistema axiomático es completo y consistente.

1930 Gödel había demostrado la completud en la lógica cuantificacional de primer orden: «para toda fórmula A de la lógica cuantificacional de primer orden, si A es lógicamente verdadero, entonces, A es deducible» Se basa en las siguientes cinco premsias:

1. A es lógicamente verdadero

2. Si A es lógicamente verdadero, entonces noA es insatisfactible

3. Si noA es insatisfactible, entonces noA es inconsistente.

4. Si noA es inconsistente, entonces da lugar a contradicción, es decir, se sostiene que «noA entonces B» y «noA entonces noB»

5. Si «noA entonces B» y «noA entonces noB» entonces A.

El sentido que se le ha dado a los teoremas de Gödel posteriormente es que la lógica es incapaz de formalizar la deducción necesaria para fundamentar definitivamente cualquier conocimiento de algún interés teórico. Según esta interpretación laxa algunos filósofos han llegado a afirmar que el resultado de su teoría demuestra «el fracaso de la lógica o incluso, el fracaso de la razón» Estas afirmaciones carecen de fundamento porque lo único que demuestran sus teoremas es que es imposible conseguir un conjunto de axiomas y un juego de reglas de transformación que suministren todas las verdades formales expresables en el lenguaje de la lógica de predicados. Es más, el hecho de que la lógica haya descubierto los límites o la inviabilidad de una realización universal del programa algorítmico en su forma clásica es más bien un éxito que un fracaso de la actividad capaz de tal resultado. Esto significa que el pensamiento puede saber cuáles de sus actividades son algorítmicas y cuáles simplemente racionales, lo cual es útil. Fracaso sería si el pensamiento no supiese el alcance de su propia actividad.

8.2. El teorema de satisfacción de Henkin

Dada la complejidad del teorema de Gödel se popularizó antes que el suyo el teorema de la satisfacción de Henkin en 1949, según el cual todo conjunto de fórmulas que sea consistente es satisfacible. De ahí se sigue el teorema de Gödel como corolario pasando de la consistencia a la satisfacibilidad. Establece que «para cualquier conjunto de fórmulas A de lógica elemental, si A es consistente, entonces A es simultáneamente satisfacible en un modelo enumerable» De esta manera la consistencia de A se extiende a toda fórmula posible compatible.

8.3. El teorema de la simultaneidad de satisfacibilidad y consistencia de Löwenheim-Skolem

Afirma que:

a) Si un conjunto de fórmulas A es simultáneamente satisfacible, entonces es consistente, afirmación convergente con la de Henkin. Y sabemos que las reglas de inferencia transmiten la propiedad de ser verdadero a las fórmulas a las que dichas reglas se aplican válidamente.

b) Si un conjunto de fórmulas A es consistente, entonces, es simultáneamente satisfacible en un dominio enumerable, lo que también sostiene el teorema de Henkin.

c) Admitidas a) y b) se sigue por doble aplicación del modus ponens la tesis del teorema A es simultáneamente satisfacible en un dominio enumerable.

8.4. El teorema de indecibilidad de Church

En 1936 Church demostró la imposibilidad de encontrar un procedimiento mecánico decisorio. Junto con el teorema de Gödel compuso los teoremas de limitación que pusieron en crisis la ilimitada fe que hasta entonces se depositaba en los métodos axiomáticos desde tiempos de Ramón Llull pasando por Leibniz, entre otros, y que dieron lugar una de las investigaciones más fecundas: la teoría de la computabilidad. Church defendía que toda función efectivamente calculable es una función recursiva. Partiendo del teorema de Gödel, Church probó que no es posible hallar una solución general para el problema de la decisión en teoría elemental de números, por lo que el sistema formal de la aritmética es indecidible. Esto conlleva a la no mecanicidad de la lógica formal, no existe ni puede existir un algoritmo que resuelva mecánicamente a todos los demás, por lo que la operación deductiva de la razón no es totalmente mecanizable. Para Church sólo habría un algoritmo que solucionase un problema lógico siempre si existiese una «máquina de Turing» capaz de computerizarlo, por lo que la mente humana sería el equivalente a una máquina de Turing pero imperfecta.

9.Conclusiones: el sueño roto, ¿verdad en las matemáticas?

Con lo expuesto anteriormente el concepto de verdad matemática se ha vuelto problemático. Dada la confianza que se le tenía en todos los sectores de las ciencias y técnicas y sus buenos resultados parecía que hubieran sido posibles los sueños de Descartes y Leibniz, pero a finales del s.XIX y principios del s.XX tal y como hemos visto en este tema empiezan a temblar sus más férreos principios. Para salvar esa fe en la verdad matemática y sacarla de esa crisis se propusieron como hemos explicado tres escuelas o caminos, pero ni el logicismo que reduce la matemática a la lógica, ni el intuicionismo o constructivismo, que pretende fundamentar la lógica partiendo de las intuiciones básicas de la matemática; ni el formalismo, que quiere desarrollar la lógica y la matemática a un tiempo de modo puramente formal, han podido imponerse por el momento.

Dada la excesiva importancia que damos al papel de las matemáticas en nuestra sociedad es curioso que los matemáticos, con medios matemáticos han demostrado que hay problemas matemáticos que no pueden ser tratados con los recursos de la matemática de cálculo, así que parece ser que existen ciertos límites naturales de la capacidad del homo sapiens para la matematización. Actualmente la discrepancia es total respeco a los axiomas que han de aplicarse, por ejemplo se tiene la libertad de aceptar o rechazar el axioma de elección y la hipótesis del continuum. Así que sigue abierta pues la cuestión de los fundamentos últimos y del significado último de la matemática y su verdad. No sabemos si se logrará alguna vez una verdad matemática incuestionable y pese a esto la matemática ofrece avances en ciencia y técnica útiles para el desarrollo de nuestra sociedad, de modo que parece que para una absolutización de la verdad matemática existen hoy menos razones que nunca, aunque las sigamos buscando.

10. Bibliografía

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